特征为零的域F，包括但不限于Q、R，指的是元素数目无镫锔跷翮限多的域。如果往这个域里面添加有限个元素，则可以把这个域扩展为新的域K。这个域可以由F添加一个元素生成，我们把唁昼囫缍这个元素称为K关于F的本原元。我们用Q为例子，加以说明。
工具/原料
电脑
网络画板
mathematica
python
方法/步骤
1、我们用根号根号根号5来扩展有理数域Q为K。
2、我们试图找到一个元素γ，可以独自把Q扩展为K。
3、根号2在有理数域的本原既约多项式记为f(x)。
4、根号3的本原既约多项式记为g(x)。
5、我们根据g(x)来构造一个以根号2为根的多项式h(x)。
6、f和h只有一个根相同，那就是根号2，另一个根是不同的。
7、在域Q[sqrt(2)+sqrt(3)]里面分解多项式h(x)。这说明，根号2属于兑恶铼融Q[sqrt(2)+sqrt(3)]。同样的，根号3也属于Q[sqrt(2)+sq鸡堕樱陨rt(3)]。所以，sqrt(2)+sqrt(3)是Q[sqrt(2),sqrt(3)]的一个本原元。
8、于是，要寻找K的本原元，只需要寻找Q[sqrt(2)+sqrt(3),sqrt(5)]的本原元跷孳岔养。把sq鸡堕樱陨rt(2)+sqrt(3)在有理数域的本原既约多项式记为p(x)，把sqrt(5)在有理数域的本原既约多项式记为q(x)，那么根据q(x)构造一个以sqrt(2)+sqrt(3)为根的多项式r(x)。r(x)和p(x)只有一个相同的根，且r(x)是Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]里面的可约多项式，可以分解因式。这说明，sqrt(2)+sqrt(3)属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]，同样的，sqrt(5)也属于Q[sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)]。
9、综上所述，可以说明，sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(5)是K的一个本原元。当然，这个域还有很多其它本原元，这里不再一一列举。
