△ABC擢爻充种的角平分线AD与边BC交于D,那么,BD:CD=AB:AC。这就是【角平分线分线段成比例】定理。本文来给出此定理的几个证明方法。
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方法一
1、一方面,注意到△ABD和△ACD有相同的高AH,因此,两个三角形的面积之比等于BD:CD。
2、另一方面,点D到AB、AC的距离相等,因此,两个三角形的面积之比又等于AB:AC。如此一来,定理得证。
方法二
1、作B、C在直线AD上的垂足怡觎现喾M、N,因为AD平分∠BAC,所以有:AB:AC=BM:CN。注意图中的相似三角形。
2、因为BM//CN,所以有:BM:CN=BD:CD。所以定理成立。
方法三
1、过点B作AD的平行线,与直线AC交于X点。因为AD是∠BAC的平分线,所以∠AXB=∠ABX,所以AX=AB。
2、因为BX//AD,所以,AX:AC=BD:CD,所以AB:AC=BD:CD。用AB替换AX。