Poincare圆盘是双曲几何的一个模型,用这个模型可以构造出漂亮的图案。然而,Poincare圆盘里面两点间的距离却不容易计算。本文试图说明这个问题,以及给出距离公式。本文所用到的作图工具是网络画板,相关公式也是在网络画板里面排版的。
工具/原料
电脑
网络画板
方法/步骤
1、约定:本文如果不特别说明,那么所有提到的直线、距离、角度等概念,都特指双曲几何里面的概念;Poincare圆盘是平面上的单位圆内部的区域。如下图,A、B之间的线段是弧AB,直线AB指的是弧DABC。
2、那么,A、B之间的距离是什么?提醒你一下,这个距离绝对不是欧几里德几何里面的圆弧AB的长度。比如,直线AB的长度是无限大的,也就是说,弧DABC的长度是无限大。
3、设A的坐标是(x,y),B的坐标是(m,n),那么,A、B之间的距离可以计算出来,公式如下图所示。
4、如果把Poincare圆盘置于复平面上,那么:A=x+Iy,B=m+In此时的公式可以很容易的给出来。
5、这样,OA之间的距离,可以简单的表示为:ln[(1+|A|)/(1-|A|))
6、特别的,C是Poincare圆盘边界上的点,OC的距离就是无限大。