本文，用Mathematica来辅助我们，了解四阶对称群的结构。
工具/原料
电脑
mathematica11.2
方法/步骤
1、四阶对称群S4有24个元素：a=SymmetricGroup[4];GroupOrder[a];b=GroupElements[a]其中的单位元是Cycles[{}]，表示不变。
2、对于S4里面的元素x，代表了一种轮换。比如：Permute[{p,q,r,s},Cycles[{{3,4}}]]把{p,q,r,s}的第三个元素和第四个元素轮换一下。
3、Permute[{p,q,r,s},Cycles[{{2,3,4}}]]第四个元素跑到第二个位置上，第二个和第三个向右移动一个位置。
4、设x和y是S4的两个元素，那么垓矗梅吒xy表示先执行y，再执行x。PermutationProduct[y,x]表示xy。比如：PermutationPr泠贾高框oduct[Cycles[{{2,3,4}}],Cycles[{{1,2}}]]Permute[{p,q,r,s},%]结果和下面的一样：Permute[{p,q,r,s},Cycles[{{2,3,4}}]];Permute[%,Cycles[{{1,2}}]]
5、产生S4的乘法表：TableForm[GroupMultiplicationTable[a],TableHeadings->Automatic]
6、查看S4里面水貔藻疽，所有的二阶元素：c=If[#!=Cycles[{}]&&PermutationPro颊俄岿髭duct[#,#]==Cycles[{}],#,0]&/@b//Union//Drop[#,1]&一共有9个。
7、c加上单溴腻男替位元，能构成一个S4的子群吗？看看它的乘法表：c=If[PermutationProduct[#,#]==Cycles[{}],#,0]&/@b//炽扃仄呦Union//Drop[#,1]&TableForm[Table[PermutationProduct[m,n][[1]],{m,c},{n,c}],TableSpacing->{5,2}]
