绪：这里，讨论三个概念：梯度向量、Jacobian矩阵、Hessian矩阵；由自变量x=(x1,x2,…,xn)T;因变量：为一维f(x)时，此时其一阶导数构成的向量为梯度向量g(x)；此时其二阶导数构成的矩阵为Hessian矩阵；为多维f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T时，此时其一阶导数构成的矩阵为Jacobian矩阵；
方法/步骤
1、梯度向量：定义：目标函数f为单变量，是关于自变量向量x=(x1,x2,…,xn)T的函数，单变量函数f对向量x求梯度，结果为一个与向量x同维度的向量，称之为梯度向量；
2、Jacobian矩阵：定义：目标函数f为一个函数向量，f=(f1(x),f2(x),…fm(x))T;其中，自变量x=(x1,x2,…,xn)T；函数向量f对x求梯度，结果为一个矩阵；行数为f的维数；列数位x的维度，称之为Jacobian矩阵；其每一行都是由相应函数的梯度向量转置构成的；【注】：梯度向量Jacobian矩阵的一个特例；当目标函数为标量函数时，Jacobian矩阵是梯度向量；
3、Hessian矩阵：实际上，Hessian矩阵是梯度向量g(x)对自变量x的Jacobian矩阵：
4、内积：向量a和向量b的内积等于a的长度乘b的长度乘夹角的余弦；
5、海森矩阵在牛顿法中的应用牛顿法主要应用在两个方面：求方程的根;最优化；1)求解傲艟茏慕方程：并不是所有的方程都有求根公式,或者求根公式很复杂,导致求解秀吁碹歌困难；利用牛顿法,可以迭代求解；原理：利用泰勒公式,在x0处一阶展开,即f(x)=f(x0)+(x-x0)f’(x0);求解方程f(x)=0,即f(x0)+(x-x0)f’(x0)=0,求解x=x1=x0-f(x0)/f’(x0),因为利用泰勒公式的一阶展开,f(x)=f(x0)+(x-x0)f’(x0)处是近似相等;f(x1)的值比f(x0)更接近f(x)=0,于是迭代求解;推出xn+1=xn–f(xn)/f’(xn)通过迭代,这个式子必然在f(x^∗)=0的时候收敛;整个过程如下图：
6、2)最氢氵菹卺优化：在最优化的问题中,线性最优化可以用不动点算法求解,但非线性优化问题,牛顿法提供了一种求解的办法；假设优化一个目标函数f,求函数f的极大极小问题,可转化为f’=0的维咩缡朊问题;把优化问题看成方程求解问题(f’=0);求解f’=0的根,把f(x)的2阶泰勒展开:f(x+Δx)=f(x)+f’(x)Δx+1/2f’’(x)Δx^2;当且仅当Δx无限趋近于0时,f(x+Δx)=f(x)约去这两项,对余项式f’(x)Δx+1/2f”(x)Δx^2=0对Δx求导(注:f’(x),f’’(x)均为常数项;此时上式等价：f’(x)+f’’(x)Δx=0;求解：Δx=−f’(xn)/f’’(xn);得出迭代公式：xn+1=xn−f’(xn)f’’(xn),n=0,1,...一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息,比梯度下降法更容易收敛（迭代更少次数）,如下图是一个最小化一个目标方程的例子,红色曲线是利用牛顿法迭代求解,绿色曲线是利用梯度下降法求解;
