本经验详细介绍通过微分法、泰勒展开等方法计算sin27°及sin27.1°近似值的主要思路和步骤。
工具/原料
正弦函数有关知识
近似值计算相关知识
主要方法与步骤
1、详细介绍通过微分法、泰勒展开法计算sin27°及sin27.1°近似值的主要思路和步骤。主要公式：sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,y=sinx，则y´=cosx，即dy=cosxdx。
2、∵(sinx)´=cosx∴dsinx=co衡痕贤伎sxdx.则有△y≈cosx△x，此时有：sinx=sinx0+△y≈sinx0+cosx0蟛鹫估幺△x。需要注意的是，计算中的△x若是角度要转化为弧度。对于本题有：x=27°=30°+△x,△x=-0.052。则：sin27°≈sin30°+cos30°*(-0.052)，≈sin30°+cos30°*(-0.052)，≈0.455。注意：本题中取x0为30°，当27°越接近30°时，近似值精确度越高。
3、方法二：泰勒公式计算1.sinx，cosx在x=0处泰勒展开根据泰勒幂级数展开，有：sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+...+(-1)n*x2n+1/(2n+1)!,cosx=1-x2/2!+x4/4!+...+(-1)n*x2n/2n!。其中：n≥0，x为任意实数，即弧度制形式。
4、2.s坡纠课柩inx在x=π/6处泰勒展开sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2像粜杵泳)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!=(1/2)[1+√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]=1/2+1/2[√3(x-π/6)-(x-π/6)2/2!-√3(x-π/6)3/3!+(x-π/6)4/4!+√3(x-π/6)5/5!-...]。
5、当n=1时的近似表达式sinx≈1/2+猾诮沓靥(√3/2)[(x-π/6)-(x-π/6)3/3!]-(x-π/6)2/4≈1/2+(x-π/6)[(√3/2)-(√3/12)(x-π砖镑苣逢/6)2-(x-π/6)/4]≈1/2+(1/12)(x-π/6)[6√3-√3(x-π/6)2-3(x-π/6)]≈1/2+(√3/12)(x-π/6)[6-(x-π/6)2-√3(x-π/6)]对于本题：x-π/6=3π/20-π/6≈(-0.052),则：sin27°≈1/2+(√3/12)*(-0.052)*(6-(-0.052)2-√3*(-0.052))≈0.454。
6、x=27.1°=30°+△x,△x=-0.051。则：sin27.1°≈sin30°+cos30°*(-0.051)，≈sin30°+cos30°*(-0.051)，≈0.456。注意：本题中取x0为30°，当27.1°越接近30°时，近似值精确度越高。
7、sinx=sin(x-π/6+π/6)=(√3/2)sin(x-π/6)+(1/2)cos(x-π/6)=(√3/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n+1/(2n+1)!+(1/2)∑<n=0,∞>(-1)n*(x-π/6)2n/(2n)!
8、对于本题：x-π/6=271π/1800-π/6≈(-0.051),则：sin27.1°≈1/2+(√3/12)*(-0.051)*(6-(-0.051)2-√3*(-0.051))≈0.455。
