在一张纸上并排画11个小方格。叫你的好朋友背对着你(确保你看不到他在纸上写什么),在前两个方格中随便填两个1到10之间的数。从第三个方格开始,在每个方格里填入前两个方格里的数之和。让你的朋友一直算出第10个方格里的数。假如你的朋友一开始填入方格的数是7和3,那么前10个方格里的数应该是
73101323365995154249现在,叫你的朋友报出第10个方格里的数,你只需要在计算器上按几个键,便能说出第11个方格里的数应该是多少。你的朋友会非常惊奇地发现,把第11个方格里的数计算出来,所得的结果与你的预测一模一样!这就奇怪了,在不知道头两个数是多少的情况下,只知道第10个数的大小,不知道第9个数的大小,怎么能猜对第11个数的值呢?
魔术揭秘:只需要除以0.618
其实,仅凭借第10个数来推测第11个数的方法非常简单,你需要做的仅仅是把第10个数除以0.618,得到的结果四舍五入一下就是第11个数了。在上面的例子中,由于249÷0.618=402.913..≈403,因此你可以胸有成竹地断定,第11个数就是403。而事实上,154与249相加真的就等于403。把头两个方格里的数换一换,结论依然成立:
291120315282133215348
可以看到,第11个数应该为215+348=563,而348除以0.618就等于563.107..,与实际结果惊人地吻合。这究竟是怎么回事儿呢?
魔术原理:溶液调配的启示
不妨假设你的好朋友最初在纸上写下的两个数分别是a和b。那么,这11个方格里的数分别为:
aba+ba+2b2a+3b3a+5b5a+8b8a+13b13a+21b21a+34b34a+55b
接下来,我们只需要说明,21a+34b除以34a+55b的结果非常接近0.618即可。
让我们来考虑另一个看似与此无关的生活小常识:两杯浓度不同的盐水混合在一起,调配出来的盐水浓度一定介于原来两杯盐水的浓度之间。换句话说,如果其中一杯盐水的浓度是a/b,另一杯盐水的浓度是c/d,那么(a+c)/(b+d)一定介于a/b和c/d之间。
因此,(21a+34b)/(34a+55b)就一定介于21a/34a和34b/55b之间。而21a/34a=21/34≈0.6176,34b/55b=34/55≈0.6182,可见不管a和b是多少,(21a+34b)/(34a+55b)都被夹在了0.6176和0.6182之间。如果a和b都不大,用21a+34b的值除以0.618来推测34a+55b是相当靠谱的。
有的读者可能已经发现了,0.618不是别的数,正是神秘的黄金分割;而上表中出现的系数1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…正是传说中的斐波那契数列。算术中最富神秘色彩的两个概念在此交织,看来这个简单小魔术的来头并不简单啊。