微分几何最基础的部分，就是曲线论和曲面论。在实际讲学里，微分几何在处理曲面方程和曲线方程的时候，采用的是向量微分的形式，不太容易理解，所以，这里，我准备用Mathematica来辅助微分几何的学习。先来看看Mathematica在计算曲线弧长上的优势。
工具/原料
电脑
Mathematica
方法/步骤
1、先画一条空间曲线：r[t_]:={Cos[3t]Cos[t],Cos[3t]Sin[t],t/3};ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2Pi}]
2、画出这条曲线的一个切向量，就以t=Pi/10为例：r'[t]Show[ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2Pi}],Graphics3D[Arrow[{r[t]/.t->Pi/10,r'[t]/10/.t->Pi/10}]]]
3、计算曲线的弧长元素：r'[t].r'[t]//TrigReduce计算弧长：Integrate[%,{t,0,2Pi}]Integrate[%%,{t,0,t}]//FullSimplify答案涉及到了椭圆积分函数。
4、Mathematica10.0以后，有了一个专门计算曲线弧长的函数——ArcLength。ArcLength[r[t],{t,0,2Pi}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]//FullSimplify
5、但是，这里是很难求出曲线r[t]的自然参数来的。所以，试验一条简单的曲线：圆——r[t_]:={aCos[t]+c,aSin[t]-b,d};ArcLength[r[t],{t,0,2Pi}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]//FullSimplify此时就很容易求出曲线的自然参数。
